Motorino d'avviamento che rimane in presa

Io penso che al filo Y/R che giunge allo starter relay deve arrivare +12V SOLO quando premi il pulsantino START sul blocchetto DX.
Se, come sembra, arriva +12V quanto giri la chiave, devi armarti di tester e cercarne la causa: perchè il relay si eccita in quel momento.
In primis scarica il manuale di officina nel cui interno trovi lo schema elettrico che dovrai consultare.
A mio parere i maggiori indiziati potrebbero essere il blocchetto DX, il junction box con i suoi relay e diodi.
Inoltre dovrai seguire il filo Y/R che giunge allo starter relay per assicurarti che nel suo percorso non entri in contatto con il filo BR (+12V sotto quadro).
Lo starter relay che hai sostituito è per il KLE? In commercio ce ne sono alcuni identici, con lo spinotto identico, ma che hanno una cablaggio diverso dei 4 contatti vicini al fusibile (verde da 30A).
Se poi hai segnalato che il faro non funziona (voglio precisare che nelle versioni con accensione automatica, il faro si accende SOLO dopo che il motore è partito, e si spegne OGNI VOLTA che premi il pulsantino START di cui sopra, e si riaccende dopo che lo hai lasciato) credo che l'anomalia possa risiedere nel junction box al cui interno, oltre ad alcuni diodi, ci sono 2 micro relay che gestiscono proprio il circuito di avviamento ed il faro.
A volte si guastano: possono rimanere passivi o sempre eccitati.
A volte si guastano per sovratensioni causate dalla rottura del regolatore.
Non mi viene altro in mente.

Quello che dice Mike è sicuramente corretto e, peraltro, del necessario controllo della scatola di derivazione e non solo si era già detto.

Le cause più probabili sono: contatto del tasto start; contatto nella scatola (non necessariamente ad un difetto del relè del circuito di avviamento); contatto con il filo giallo/rosso lungo la linea di quest’ultimo; difetto del relè del motorino (quello dietro la fiancata laterale dx).

I rumori strani (tipo tac, tac, tac) che hai sentito dal relè del motorino potrebbero dipendere semplicemente dalla batteria che si sta scaricando, cosa fisiologica dopo tutto quel lavoro (converrebbe una ricaricata così eviti di giocartela).

Visto che adesso il motorino gira appena giri la chiave: togli le fiancate laterali; prendi il tester; metti il puntale positivo sul filo giallo/rosso in uscita della scatola (dovrebbe essere il pin 13 del connettore grande) ed il puntale meno su un negativo/massa (sicuramente non trovi tensione); gira la chiave (sperando, a questo punto, che il motorino giri così sei sicuro che in quel momento c’è un contatto) e se trovi tensione il problema è quasi certamente nella scatola o nel tasto start (o relativo cablaggio). Invece, se quando giri la chiave non trovi tensione sul giallo/rosso ma il motorino gira è più probabile un difetto al relè del motorino (probabilmente un corto all’interno di questo con il filo bianco che è sotto chiave).

Bisogna fare un po’ di controlli.

Ma quando giri la chiave e trovi i 3 volt si aziona da solo anche il motorino?

Fai le provejndicate dal manuale sulla scatola.
Ti consiglio di staccare il cavo rosso che va dal relè del motorino al motorino stesso (lo trovi nella parte sinistra quardando il relè - non staccate quello che va verso la batteria). In tal modo il motorino non girerà più e non sforzi né quello né la batteria.

Che tester hai usato, analogico o digitale? Hai usato la funzione resistenza (Ohm)?

In base al tester potrebbero esserci differenze, specie con uno digitale in luogo dell’analogico. Verifica il manuale del tester in uso perché con alcuni tester digitali, quando ci sono di mezzo i diodi, non sempre riesci a controllarli con la funzione “Ohmetro”, ma devi usare la funzione diodi, ovviamente se questa è presente sul tester.

Sarebbe opportuno che tu riferisca i valori rilevati e dove?

In particolare, tra i vari valori, è interessante sapere cosa hai rilevato nel controllo 13-11 con batteria scollegata.

Il fatto che con batteria collegata al pin 11-12 non scatti il relè faro non significa che sia sicuramente lui il colpevole, perchè potrebbe essere il diodo.

Se hai utilizzato un tester digitale che ha la funzione diodo prova a ricontrollare - con quella funzione e con batteria SCOLLEGATA - i pin 13-9 (relè faro) e 12-11 (relè avviamento), in entrambi i sensi (cambiando il + con il -).

Sarei dell'idea di puntare un problema alla volta e di focalizzare le risorse in quella direzione.
Quindi, a mio avviso, cercherei perchè il motorino resta sempre attivato, lasciando il regolatore da parte per il momento.
Anche perchè, pur seguendo e riscontrando tutte le indicazioni del manuale, lo stesso manuale a pag. 16-35 recita così:

Se il regolatore/raddrizzatore supera tutte le verifiche descritte,
potrebbe essere ancora difettoso. Se, dopo aver
controllato tutti i componenti e la batteria, l’impianto di carica
non funziona ancora correttamente, verificare il regolatore/
raddrizzatore sostituendolo con uno funzionante.

Quindi si rischia di perdere un sacco di tempo, senza cavare un ragno dal buco.
Il regolatore lo abbiamo sempre provato con il motore in moto, con risultati estremamente precisi: rimandiamo a quando il motore potrà girare.

Sinceramente non ho letto nè elaborato i risultati che hai rilevato con le tue misurazioni: mi manca il tempo. Per cui non mi esprimo in merito.